数学学習の記録 220.3 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第10章(新しい数とその表示-複素数と複素平面)の10.1(複素平面)、複素数の絶対値の問2, 3, 4 | Kamimura's blog

2010年6月28日月曜日

数学学習の記録 220.3 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第10章(新しい数とその表示-複素数と複素平面)の10.1(複素平面)、複素数の絶対値の問2, 3, 4

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第10章(新しい数とその表示-複素数と複素平面)の10.1(複素平面)、複素数の絶対値の問2, 3, 4を解いてみる。

問2

(1)

2*sqrt{10}*2sqrt{5}*sqrt{2}=2^{2}*10=40

(2)

(sqrt{5}*sqrt{13}) / (sqrt{2}*5)=sqrt{13} / 10

問3

$|\alpha+\beta|^{2}=(\alpha+\beta)(\bar{\alpha+\beta})$

$=(\alpha+\beta)(\bar{\alpha}+\bar{\beta})$

$=\alpha\bar{\alpha}+\alpha\bar{\beta}+\beta\bar{\alpha}+\beta\bar{\beta}$

$|\alpha-\beta|^{2}=\alpha\bar{\alpha}-\alpha\bar{\beta}-\beta\bar{\alpha}+\beta\bar{\beta}$

2つの等式の左辺、右辺をそれぞれ加えると、

$|\alpha+\beta|^{2}+|\alpha-\beta|^{2}=2(|\alpha|^{2}+|\beta|^{2})$

となる。
(証明終)

問4

|α|=1

のとき、

$|1-\bar{\alpha}\beta|=|\alpha\bar{\alpha}-\bar{\alpha}\beta|$

$=|\bar{\alpha}(\alpha-\beta)|=|\bar{\alpha}|\ |\alpha-\beta|$

$=|\alpha-\beta|$

|β|=1

のときも同様にして証明。(証明終)

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