数学学習の記録 220.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、いくつかの練習問題の問42 | Kamimura's blog

2010年6月28日月曜日

数学学習の記録 220.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、いくつかの練習問題の問42

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、いくつかの練習問題の問42を解いてみる。

問42
neu.Notesで描いたイメージ図

点Oを基準とし、各点A, D, B, Eの位置ベクトルをある実数k, lを用いて、

$A(\vec{a}),\ D(k\vec{a}),\ B(\vec{b}),\ E(l\vec{b})$

とする。

AC:CE=m:1-m

BC:CD=n:1-n

とすると、

$\vec{c}$

$=(1-m)\vec{a}+ml\vec{b}$

$=(1-n)k\vec{a}+n\vec{b}$

よって

1-m=k(1-n)

ml=n

という連立方程式が成り立つので、これをm, nについて解くと、

1-m=k(1-ml)

m=(k-1)/(kl-1)

よって

$\vec{c}=\frac{k(l-1)}{kl-1}\vec{a}+\frac{(k-1)l}{kl-1}\vec{b}$

また、点P, Q, Rはそれぞれ線分AB, OC, DEの中点なので、

$\vec{p}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

$\vec{q}=\frac{c}{2}=\frac{k(l-1)}{2(kl-1)}\vec{a}+\frac{l(k-1)}{2(kl-1)}{\vec{b}$

$\vec{r}=\frac{k\vec{a}+l\vec{b}}{2}$

となる。よって

$\vec{PQ}=\vec{q}-\vec{p}$

$=\frac{(kl-k-kl+1)\vec{a}+(kl-l-kl+1)\vec{b}}{2(kl-1)}$

$=\frac{-(k-1)\vec{a}-(l-1)\vec{b}}{2(kl-1)}$

$\vec{PR}=\vec{r}-\vec{p}$

$=\frac{(k-1)\vec{a}+(l-1)\vec{b}}{2}$

以上より、

$\vec{PR}=-(kl-1)\vec{PQ}$

よって、線分AB, OC, DEの中点P, Q, Rは1直線上にある。(証明終)

時刻: 16:41 ラベル: Application , iPad , TeX , 解析学 , 数学 , 本

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