数学学習の記録 219.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、いくつかの練習問題の問40

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、いくつかの練習問題の問40を解いてみる。

問40

neu.Notesで描いたイメージ図

点Pを基準として位置ベクトルを考え、

$A(\vec{a}),\ B(\vec{b})$

とする。

するとある負の数m,nが存在して、

$C(m\vec{a}),\ D(n\vec{b})$

と表される。

四角形ABCDは円に内接しているので、三角形PABと三角形PCDは掃除で、

$\vec{PA}\cdot\vec{PC}=\vec{PB}\cdot\vec{PD}$

$m|\vec{a}|^{2}=n|\vec{b}|^{2}$

また、点Mは線分ABの中点なので、

$\vec{PM}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

また、

$\vec{CD}=n\vec{b}-m\vec{a}$

このことと、四角形ABCDの対角線AC、BDが点Pで直交している、すなわち、

$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

以上から、

$\vec{PM}\cdot\vec{CD}$

$=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\cdot(n\vec{b}-m\vec{a})$

$=\frac{-m|\vec{a}|^{2}+n|\vec{b}|^{2}}{2}$

よって辺ABの中点MとPを通る直線はCDに垂直である。(証明終)

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