数学学習の記録 219 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、いくつかの練習問題の問39

2010年6月27日日曜日

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、いくつかの練習問題の問39を解いてみる。

問39

neu.Notesで描いたイメージ図

点Eは三角形ABCの辺をn:1に内分するので、

$\vec{AE}=\frac{\vec{b}+n\vec{c}}{n+1}$

また、

$\vec{DF}=\frac{-n\vec{b}+\vec{c}}{n+1}\$

となる。この2つのベクトルの内積を求めると、

$\vec{AE}\cdot\vec{DF}$

$=\frac{\vec{b}+n\vec{c}}{n+1}\cdot\frac{-n\vec{b}+\vec{c}}{n+1}$

$=\frac{1}{n+1}(-n\vec{b}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}-n^{2}\vec{b}\cdot\vec{c}+n\vec{c}\cdot\vec{c})$

$=\frac{1}{n+1}(-n|\vec{b}|^{2}+n|\vec{c}|^{2})$

$=\frac{n}{n+1}(-|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2})$

ここで、三角形ABCは角Aを直角とする直角2等辺三角形なので、

$\vec{AE}\cdot\vec{DF}=0$

よって、

$\vec{AE}\bot \vec{DF}$

(証明終)

時刻: 15:42 ラベル: Application , iPad , TeX , 解析学 , 数学 , 本