数学学習の記録 217 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、交点の位置ベクトルを求めることの問31

2010年6月25日金曜日

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、交点の位置ベクトルを求めることの問31を解いてみる。

問31

neu.Notesで描いたイメージ図

点Pは辺BCを2:1に内分するので

$\vec{AP}$

$=\frac{\vec{AB}+2\vec{AC}}{2+1}$

$=\frac{\vec{b}+2(\vec{b}+\vec{d})}{3}$

$=\vec{b}+\frac{2\vec{d}}{3}$

また、

BQ:QD=m:1-m

とおくと、

$\vec{AQ}=(1-m)\vec{b}+m\vec{d}$

点A, P, Qは1直線上にあるのである実数kが存在して

$\vec{AP}=k\vec{AQ}$

が成り立つので、

$\vec{b}+\frac{2\vec{d}}{3}=k((1-m)\vec{b}+m\vec{d})$

$\vec{b}+\frac{2\vec{d}}{3}=k(1-m)\vec{b}+km\vec{d}$

よって、

k(1-m)=1

2/3=km

という連立方程式が成り立つ。これを解くと、

m=2/3k

k(1-2/3k)=1

k-2/3=1

k=5/3

m=2/5

よって

$\vec{AQ}=\frac{3}{5}\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{d}$

となる。

時刻: 9:51 ラベル: Application , iPad , TeX , 解析学 , 数学 , 本