数学学習の記録 214.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、分点の位置ベクトルの問25

2010年6月22日火曜日

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、分点の位置ベクトルの問25を解いてみる。

問25

点A, B, C, G, Pの位置ベクトルをそれぞれ

$A(\vec{a}),\ B(\vec{b}),\ C(\vec{c}),\ G(\vec{g}),\ \ P(\vec{p})$

とおく。

Gは三角形ABCの重心なので

$\vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

が成り立つ。よって

$\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}$

$=\vec{a}-\vec{p}+\vec{b}-\vec{p}+\vec{c}-\vec{p}$

$=(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-3\vec{p}$

$=3(\vec{g}-\vec{p})$

$=3\vec{PG}$

よって問題の等式は証明された。