数学学習の記録 214 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、分点の位置ベクトルの問24

2010年6月22日火曜日

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、分点の位置ベクトルの問24を解いてみる。

問24

$A(\vec{a}),\ B(\vec{b}),\ C(\vec{c}),\ G(\vec{g})$

とおく。

点Gが三角形ABCの重心と仮定すると、

$\vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}$

$=\vec{a}-\vec{g}+\vec{b}-\vec{g}+\vec{c}-\vec{g}$

$=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}-3\vec{g}$

$=\vec{0}$

逆に、

$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0$

と仮定すると、

$\vec{a}-\vec{g}+\vec{b}-\vec{g}-\vec{c}-\vec{g}=0$

$\vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

となり、点Gは三角形ABCの重点となる。