数学学習の記録 213.2 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、位置ベクトルの問23

2010年6月21日月曜日

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、位置ベクトルの問23を解いてみる。

問23

問題の定義より、

$\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$

$\vec{BC}=\vec{c}-\vec{b}$

$\vec{CD}=\vec{d}-\vec{c}$

$\vec{DA}=\vec{a}-\vec{d}$

となる。

四角形ABCDが平行四辺形と仮定すると、

$\vec{AB}=\vec{DC}$

$\vec{AB}=-\vec{CD}$

すなわち

$\vec{b}-\vec{a}=\vec{c}-\vec{d}$

$\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$

逆に、

$\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$

ならば、

$\vec{b}-\vec{a}=\vec{c}-\vec{d}$

$\vec{AB}=-\vec{CD}$

$\vec{AB}=\vec{DC}$

より、四角形ABCDは平行四辺形となる。