数学学習の記録 212.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.1(ベクトルとその演算)、内積を成分で表すことの問20 | Kamimura's blog

2010年6月20日日曜日

数学学習の記録 212.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.1(ベクトルとその演算)、内積を成分で表すことの問20

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.1(ベクトルとその演算)、内積を成分で表すことの問20を解いてみる。

問20

求める成分を $t_{0}$ とおく。

(1)

$t_{0}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}$

$=\frac{6+4}{4+1}=2$

求める最小値は

$|\vec{a}-t_{0}\vec{b}|$

=|(3, 4)-2(2,1)|

=|(-1,2)|

$=\sqrt{5}$

(2)

$t_{0}=\frac{(1,-3)\cdot(-1,1)}{(-1,1)\cdot(-1,1)$

$=\frac{-1-3}{1+1}=--2$

求める最小値は

|(1,-3)-(-2)(-1,1)|

=|(-1,-1)|

$=\sqrt{2}$

(3)

$t_{0}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}$

$=\frac{4}{|\vec{b}|^{2}}=1$

求める最小値は

$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}$

$=|\vec{a}|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^{2}$

=9-8+4=5

より

$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{5}$

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