数学学習の記録 211.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.1(ベクトルとその演算)、内積を成分で表すことの問18

2010年6月19日土曜日

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.1(ベクトルとその演算)、内積を成分で表すことの問18を解いてみる。

問18

左辺^{2}

$=|\vec{a}+\vec{b}|^{2}$

$=|\vec{a}|^{2}+2(\vec{a}\cdot\vec{b})+|\vec{b}|^{2}$

右辺^{2}

$|\vec{a}+(-\vec{b})|^{2}$

$=|\vec{a}|^{2}+2\left(\vec{a}\cdot\(-\vec{b})\right)+\ |\ -\vec{b}|^{2}$

$=|\vec{a}|-2(\vec{a}\cdot\vec{b})+|\vec{b}|^{2}$

となることから問題の仮定の等式より

$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

よって2つのベクトルは垂直

$\vec{a}\bot \vec{b}$

となる。

以上をまとめると、

$\vec{0}\ne\vec{a},\ \vec{b}$

を満たす2つのベクトルに対して、

$|\vec{a}+\vec{b}|\Rightarrow\vec{a}\bot\vec{b}$

が成り立つ。