数学学習の記録 210.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.1(ベクトルとその演算)、内積を成分で表すことの問15

2010年6月18日金曜日

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.1(ベクトルとその演算)、内積を成分で表すことの問15を解いてみる。

問15

問題の不等式より、

$|\vec{a}\cdot\vec{b}|^{2}\leq|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}$

この両辺を成分表示すると、

左辺

$=|a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}|^{2}$

$=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^{2}$

右辺

$=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})$

よって、

$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^{2}\leq(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})$