数学学習の記録 198.1 "簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第8章(円の中にひそむ関数ー三角関数)の8.2(加法定理)、三角関数の諸公式の問37

"簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第8章(円の中にひそむ関数ー三角関数)の8.2(加法定理)、三角関数の諸公式の問37を解いてみる。



問37

(1)

左辺

=2cos (A+B) cos (A-B) + cos 2(π - (A+B))

=2cos (A+B) cos (A-B) + cos 2(A+B)

=2cos (A+B) cos (A-B) + cos^{2}(A+B) - sin^{2}(A+B)

=2cos (A+B) cos (A-B) + 2cos^{2}(A+B) -1

=-1 + 2cos(A+B)(cos (A+B) +cos (A-B))

=-1 + 2cos(π-C) 2cos A cos B

=-1 - 4cos A cos B cos C

=右辺

(2)

左辺

= 2sin (A+B)/2 cos (A-B)/2 - sin (-A-B)

=2sin (A+B)/2 cos (A-B)/2 + sin (A+B)

=2sin (A+B)/2 cos (A-B)/2 + 2sin (A+B)/2 cos (A+B)/2

=2sin (A+B)/2 (cos (A-B)/2 + cos (A+B)/2)

=2 sin (π/2-C/2) 2cos A/2 cos (-B/2)

=4cos C/2 co A/2 cos B/2

=4cos A/2 cos B/2 cos C/2

=右辺

(3)

左辺

=2cos (A+B)/2 cos (A-B)/2 + cos (π-A-B)

=2cos (A+B)/2 cos (A-B)/2 - cos (A+B)

=2cos (A+B)/2 cos (A-B)/2 - cos^{2}(A+B)/2+sin^{2}(A+B)/2

=2cos (A+B)/2 cos (A-B)/2 - 1 - 2cos^{2}(A+B)/2

=1 + 2cos (A+B)/2 (cos (A-B)/2 - cos (A+B)/2)

=1 -4cos (π-C)/2 sin A/2 sin B/2

=1+4sin C/2 sin A/2 sin B/2

=1+4sin A/2 sin B/2 sin C/2

=右辺

(4)

左辺

=tan (A+B)(1-tan A tan B)+tan (-A-B)

=-tan (A+B) tan A tan B

=-(-tan C) tan A tan B

=tan A tan B tan C

=右辺