数学学習の記録 182 "簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第7章(急速・緩慢に変化する関係ー指数関数・対数関数)の7.3(対数の性質)、いくつかの例題および問題の補充の問38

"簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第7章(急速・緩慢に変化する関係ー指数関数・対数関数)の7.3(対数の性質)、いくつかの例題および問題の補充の問38を解いてみる。



問38

log_{a}{x/y}*log_{a}{x/z}

=(log_{a}{x}-log_{a}{y})(log_{a}{x}-log_{a}{z})

log_{a}{sqrt{y/z}}*log_{a}{sqrt{z/y}}

=(1/4)(log_{a}{y}-log_{a}{z})(log_{a}{z}-log_{a}{y})

=-(1/4)(log_{a}{y}-log_{a}{z})^{2}

よって

左辺 - 右辺

=(log_{a}{x})^{2}-(log_{a}{y}+log_{a}{z})log_{a}{x}+(1/4)(log_{a}{y}+log_{a}{z})^{2}

=((log_{a}{x}-(1/2)(log_{a}{y}+log_{a}{z}))^{2}

>= 0

問題の不等式が成り立つ。

等号が成り立つのは、

log_{a}{x}=(1/2)(log_{a}{y}+log_{a}{z})

log_{a}{x}=log_{log_{a}{yz^{1/2}}

x^{2}=yz

のときである。