数学学習の記録 181 "簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第7章(急速・緩慢に変化する関係ー指数関数・対数関数)の7.3(対数の性質)、いくつかの例題および問題の補充の問37

"簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第7章(急速・緩慢に変化する関係ー指数関数・対数関数)の7.3(対数の性質)、いくつかの例題および問題の補充の問37を解いてみる。



問37

2^{x}=X, 2^{y}=Y

とおくと左辺は

log_{2}{(2^{x}+2^{y})/2}

=log_{2}{(X+Y)/2}

また

log_{2}{2^{x}}=log_{2}{X}

x=log_{2}{X}

同様に

y=log_{2}{Y}

から右辺は

(x+y)/2

=(log_{2}{X}+log_{2}{Y})/2

=1/2*log_{2}{XY}

=log_{2}{(XY)^{1/2}}

となる。よって相加平均、相乗平均の比較より

(X+Y)/2 >= (XY)^{1/2}

log_{2}{(X+Y)/2} >= log_{2}{(XY)^{1/2}}

すなわち

log_{2}{(2^{x}+2^{y})/2} >= (x+y)/2

となる。

等号が成り立つのは

X=Y

のとき、

すなわち

2^{x}=2^{y}

x=y

の場合である。