数学学習の記録 179 "簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第7章(急速・緩慢に変化する関係ー指数関数・対数関数)の7.3(対数の性質)、いくつかの例題および問題の補充の問33

"簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第7章(急速・緩慢に変化する関係ー指数関数・対数関数)の7.3(対数の性質)、いくつかの例題および問題の補充の問33を解いてみる。



問33

(1)

3^{x}=t

とおくと

t^{2}+t > 12

(t+4)(t-3) > 0

t > 0より

t >3

よって

3^{x} > 3

x > 1

(2)

2^{x}=t

とおくと

t^{2}-12t+32 >= 0

(t-4)(t-8) >= 0

0< t < 4, 8 < t

よって

2^{x} < 4, 8 < 2^{x}

x < 2, 3 < x

(3)

log_{10}{x}=t

とおくと

t^{2} < 2t

t(t-2) < 0

0 < t < 2

よって

0 < log_{10}{x} < 2

log_{10}{1} < log_{10}{x} < log_{10}{100}

1 < x < 100

(4)

lot_{2}{x}=t

とおくと

t > 0 (x > 1) のとき

log_{2}{x} >= log_{2}{2}/log_{2}{x}

t >= 1/t

t^{2} >= 1

(t+1)(t-1) >= 0

1 <= t

よって

log_{2}{2} <= log_{2}{x}

2 <= x

t < 0 ( 0 < x < 1 )

のとき上記から

-1 <= t <0

よって

log_{2}{1/2} <= log_{2}{x} < log_{2}{1}

1/2 <= x < 1

t = 0 ( x= 2)

のとき

x = 2

以上をまとめると

1/2 < = x < 1, 2<= x