問25
傾きがmの直線は、y切片をnとすると、
y=mx+n
と表される。
これを
x^{2}+y^{2}=r^{2}
に代入すると
(m^{2}+1)x^{2}+2mnx+n^{2}-r^{2}=0
直線が円に接するのはこの２次方程式が重解をもつときなので
(mn)^{2}-(m^{2}+1)(n^{2}-r^{2})=0
-n^{2}+(m^{2}+1)r^{2}=0
(sqrt{m^{2}+1}r+n)(sqrt{m^{2}+1}r-n)=0
n=±sqrt{m^{2}+1}r
よって
y=mx±r*sqrt{m^{2}+1} (証明終)
問26
(1)
求める接線のy切片をnとすると
y=x/3+n
これを円x^{2}+y^{2}=10に代入すると、
x^{2}+x^{2}/9+2nx/3+n^{2}-10=0
10x^{2}+6nx+9n^{2}-90=0
この２次方程式が重解をもつので
9n^{2}-90n^{2}+900=0
-9n^{2}+100=0
(3n+10)(3n-10)=0
よって求める接線の方程式は
x+3y+10=0, x+3y-10=0
(2)
求める接線のy切片をnとすると
y=-x+n
これを円x^{2}+y^{2}=10に代入すると
x^{2}+x^{2}-2nx+n^{2}-10=0
2x^{2}-2nx+n^{2}-10=0
この２次方程式が重解をもつので
n^{2}-2(n^{2}-10)=0
-n^{2}+20=0
n=±2sqrt{5}
よって求める接線は
y=-x±2sqrt{5}
問27
(1)
求める接線の傾きをm、y切片をnとすると
y=mx+n
この直線が点 (4, 0)を通るので
0=4m+n
n=-4m
直線の方程式を円x^{2}+y^{2}=4に代入すると
x^{2}+m^{2}x^{2}-8m^{2}x+16m^{2}-4=0
(m^{2}+1)x^{2}+8m^{2}x+16m^{2}-4=0
この２次方程式が重解を持つので
16m^{4}-(m^{2}+1)(16m^{2}-4)=0
4m^{4}-(m^{2}+1)(4m^{2}-1)=0
-3m^{2}+1=0
m=±sqrt{3}/3
よって求める接線の方程式は
y=±sqrt{3}x/3-(±4sqrt{3}/3)
±sqrt{3}x-3y-(±4sqrt{3})=0 (複合同順)
(2)
接線と円 x^{2}+y^{2}=25の接点を(x_0,y_0)とすると、
x_0x+y_0y=25
この直線が点 (7, -1)を通るので
7x_0-y_0=25
y_0=7x_0-25
また、接点 (x_0, y_0)も円x^{2}+y^{2}=25上の点なので
x_0^{2}+y_0^{2}=25
よって
x_0^{2}+(7x_0-25)^{2}-25=0
50x_0^{2}-7*50x_0+25^{2}-25=0
2x_0^{2}-14x_0+24=0
x_0^{2}-7x_0+12=0
(x_0-3)(x_0-4)=0
よって
x_0=3, y_0=-4
または
x_0=4, y_0=3
よって求める接線の方程式は
3x-4y=25, 4x+3y=25
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