数学学習の記録 157.2 簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本) 第6章 問18,19,20

"簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第6章 問18,19,20を解いてみる。




問18

直線BCをx軸、辺BCの垂直二等分線をy軸、点A,B,Cの座標をそれぞれ

(a,b),(-c,0),(c,0)

とする。このとき辺AB,ACの垂直二等分線の方程式はそれぞれ

y-b/2=((-c-a)/b)(x-(a-c)/2)

y-b/2=((c-a)/b)(x-(a+c)/2)

となり、この2つの方程式のy切片はともに

(a^{2]+b^{2}+c^{2})/2b

となる。

よって三角形ABCの各辺の垂直二等分線は同一の点で交わる。(証明終)

問19

(1)

x^{2}+y^{2}=9

(2)

(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=16

(3)

(x+3)^{2}+(y-2)^{2}=13

(4)

(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=5

(5)

求める円の中心を(a,b),半径をrとおくと、

a+b=3

b=3-a

(x-a)^{2}+(y-3+a)^{2}=r^{2}

この円が2点(4,1),(2,-3)を通るので

(4-a)^{2}+(a-2)^{2}=r^{2}

(2-a)^{2}+(a-6)^{2}=r^{2}

16-8a+a^{2}+a^{2}-4a+4=a^{2}-4a+4+a^{2}-12a+36

4a=20

a=5

よって求める円の方程式は

(x-5)^{2}+(y+2)^{2}=10

問20

(1)

(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=5^{2}

よって中心(3,-2),半径5の円を表す。

(2)

3(x-1/3)^{2}+3(y-1/2)^{2}+1-1/3-3/4=0

(x-1/3)^{2}+(y-1/2)^{2}+1/3-1/9-1/4=0

(x-1/3)^{2}+(y-1/2)^{2}=(1/6)^{2}

よって中心(1/3,1/2),半径1/6の円を表す。

(3)

(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=0

よって点(1,-1)を表す。

(4)

(x+4)^{2}+(y-2)^{2}=-5

よって問題の方程式を表す図形はない。