数学学習の記録 147 簡単な関数平面図形と式指数関数・対数関数三角関数 (数学読本) 第5章問14,15

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問14

対角線の長さをlとすると

$l=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

となるので、

$l^{2}=x^{2}+y^{2}$

が最小になるx,yを求めればよい。

2x+y=20

なのでこれを上記の式に代入すると、

$l^{2}=x^{2}+(20-2x)^{2}\\<br />=5x^{2}-80x;400\\<br />=5(x-8)^{2}+80$

よって断面の対角線の長さが最小になるのは

x=8,y=4

のときでその長さは

$l=\sqrt{64+16}=\sqrt{4^{2}\cdot5}=4\sqrt{5}$

すなわち

$4\sqrt{5}cm$

となる。

問15

問題の二等辺三角形の面積をS、底辺の長さをxcm、高さをycmとすると、

$x+y=12\\<br />S=\frac{1}{2}xy$

となる。これより

$S=\frac{1}{2}x(12-x)$

この方程式の軸は

$\frac{0+12}{2}=6$

となるので

x=6,y=6

のとき、すなわち二等辺三角形の底辺6cm、高さ6cmのとき、その面積Sは最大値

$S=18cm^{2}$

となる。

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