数学学習の記録 142.1 数・式の計算・方程式不等式 (数学読本) 第4章問29,30

2010年4月9日金曜日

数・式の計算・方程式不等式 (数学読本)"の第4章問29,30を解いてみる。

問29

仮定より

問題の不等式のそれぞれの式にbd(b+d)をかけると

となるのでこれを証明すればいい。

左辺-中辺=

$adb+ad^{2}-abd-bcd\\<br />=d(ad-bc)>0$

中辺-右辺=

$abd+bcd-b^{2}c-bcd\\<br />=b(ad-bc)>0$

よって問題の不等式は成り立つ。

問30

$(ax+by)^{2}+(bx+ay)^{2}-(x^{2}+y^{2})(a+b)^{2}\\<br />=4abxy-2abx^{2}-2aby^{2}\\<br />=-2ab(x-y)^{2}\leq0$

よって

$A^{2}+B^{2}\leq x^{2}+y^{2}$