数学学習の記録 141.3 数・式の計算・方程式不等式 (数学読本) 第4章問20,21,22,23,24,25

数・式の計算・方程式不等式 (数学読本)"の第4章問20,21,22,23,24,25を解いてみる。

問20

a,b,c,p,q,rについて

$p^{2}=a^{2}+b^{2}\geq2\sqrt{a^{2}b^{2}}=2ab\\ q^{2}=b^{2}+c^{2}\geq2\sqrt{b^{2}c^{2}}=2bc\\ r^{2}=c^{2}+a^{2}\geq2\sqrt{c^{2}a^{2}}=2ca$

が成り立つのでこの3つの左辺と右辺をかけると

$p^{2}q^{2}r^{2}\geq8a^{2}b^{2}c^{2}$

すなわち、

$pqr\geq2\sqrt{2}abc$

が成り立つ。

問21

(1)

$2(a+b)-a-b-2\sqrt{ab}=a+b-2\sqrt{ab}\geq0$

よって問題の不等式は成り立つ。

(2)

$3(a+b)-2a-b-2\sqrt{2ab}=a+2b-2\sqrt{a(2b)}\geq0$

よって問題の不等式は成り立つ。

問22

$(p+q)(a+b)-pa-qb-2\sqrt{pqab}\\ =pb+qa-2\sqrt{(pb)(qa)}\geq0$

よって問題の不等式は成り立つ。

問23

左辺-右辺=

$a^{2}+b^{2}-a^{2}-b^{2}-2|a|\ |b|\leq0$

よって問題の不等式は成り立つ。

問24

$a+b-2\sqrt{ab}-a+b=-2\sqrt{ab}+2b\\ =2\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})<0$

よって

$\sqrt{a-b}$

のほうが大きい。

問25

左辺-右辺=

$pa+qb-p^{2}a-q^{2}b-2pq\sqrt{ab}\\ =pa(1-p)+qb(1-q)-2pq\sqrt{ab}\\ =pqa+pqb-2pq\sqrt{ab}$

$=pq(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geq0$

よって問題の不等式は成り立つ。

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