数学学習の記録 141.2 数・式の計算・方程式不等式 (数学読本) 第4章問19

2010年4月8日木曜日

数・式の計算・方程式不等式 (数学読本)"の第4章問19を解いてみる。

問19

長方形の2辺の長さをそれぞれa,bとし、面積をS,周囲の長さを4lとする。このとき

$S=ab,l=\frac{a+b}{2}$

となり、

$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$

すなわち、

$l\geq\sqrt{S}$

となる。仮定より面積Sは一定なので、lが最小となるのは

$l=\sqrt{S}$

$\frac{a+b}{2}=\sqrt{ab}$

のとき、すなわち、

のときとなる。よって問題の仮定を満たす長方形は正方形である。