数学学習の記録 141.1 数・式の計算・方程式不等式 (数学読本) 第4章問16,17,18

数・式の計算・方程式不等式 (数学読本)"の第4章問16,17,18を解いてみる。

問16

(1)

左辺-右辺=

$a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}-2abxy\\ =(ay-bx)^{2}\geq0$

(2)

左辺-右辺=

$a^{3}(a-b)+b^{3}(b-a)\\ (a^{3}-b^{3})(a-b)\\ =(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})(a-b)$

$=(a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})\\ =(a-b)^{2}((a+\frac{b}{2})^{2}+\frac{3}{4}b^{2})\geq0$

(3)

左辺-右辺=

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+3-2(a+b+c)\\ =a^{2}-2a+(b^{2}+c^{2}-2(b+c)+3)\\ =(a-1)^{2}+(b^{2}+c^{2}-2(b+c)+2)$
$=(a-1)^{2}+b^{2}-2b+(c^{2}-2c+2)\\ =(a-1)^{2}+(b-1)^{2}+c^{2}-2c+1\\ =(a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2}\geq0$

問17

a,bの間に

$\frac{9a}{b}=\frac{4b}{a}\\ 9a^{2}=4b^{2}\\ b=\frac{3}{2}a$

という関係があるとき。

問18

(1)

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2$

(2)

$(\frac{a}{b}+\frac{c}{d})(\frac{b}{a}+\frac{d}{c})\geq2\sqrt{\frac{ac}{bd}}\cdot2\sqrt{\frac{bd}{ac}}=4$

(3)

式を変形すると、

$x+y\geq\frac{2xy}{\sqrt{xy}}=2\sqrt{xy}$

よって問題の不等式は成り立つ。

(4)

$x^{3}+y^{3}-(x^{2}y+xy^{2})\\ =x^{2}(x-y)+y^{2}(y-x)\\ =(x^{2}-y^{2})(x-y)\\ =(x+y)(x-y)^{2}\geq0$

(5)

$(b+c)(c+a)(a+b)\geq2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}\cdot2\sqrt{ab}=8abc$

Kamimura's blog

2010年4月8日木曜日