数学学習の記録 141 数・式の計算・方程式不等式 (数学読本) 第4章問14,15

数・式の計算・方程式不等式 (数学読本)"の第4章問14,15を解いてみる。

問14

(ab+cd)-(ac+bd)

=a(b-c)+d(c-b)

=(a-d)(b-c)

ここで、

a-d>0,b-c>0より

(a-d)(b-c)>0

よって

ab+cd>ac+bd

(ac+bd)-(ad+bc)

=a(c-d)+b(d-c)

=(a-b)(c-d)

ここで、

a-b>0,c-d>0より

(a-b)(c-d)>0

よって

ac+bd>ad+bc

以上から

ab+cd>ac+bd>ad+bc

問15

(1)

$(a+\frac{b}{2})^{2}+\frac{3}{4}b^{2}\geq 0$

等号が成り立つのは

$a+\frac{b}{2}=0,b=0\\<br />a=b=0$

のときである。

(2)

$2(x^{2}-\frac{3}{2}xy+2y^{2})\\<br />=2((x-\frac{3}{4}y)^{2}+\frac{23}{16}y^{2})\geq 0$

等号が成り立つのは

$x-\frac{3}{4}y=0,y=0\\<br />x=y=0$

のときである。

(3)

$x^{2}-4x+y^{2}+6y+13\\<br />=(x-2)^{2}+(y+3)^{2}\geq 0$

等号が成り立つのは

x=3,y=-3

のときである。

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