数学学習の記録 138 数・式の計算・方程式不等式 (数学読本) 第3章問44,45

"数・式の計算・方程式不等式 (数学読本)"の第3章問44,45を解いてみる。

問44

両辺に

をかけると、

$x^{2}=\frac{a^{2}(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\\ \frac{b^{2}(x-a)(x-c)}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^{2}(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)}$

この両辺は2次以下の背式で、x=a,b,cに対して、左辺=右辺になるので問題の等式はxについて恒等式である。

問45

(1)

$a^{2}+b(a+b)=a^{2}+ab+b^{2}$

$b^{2}+a(a+b)=a^{2}+ab+b^{2}$

$(a+b)^{2}-ab=a^{2}+ab+b^{2}$

よって問題の等式は成り立つ。

(2)

$\frac{(b+c)(b-c)}{a}+\frac{(c+a)(c-a)}{b}+\frac{(a+b)(a-b)}{c}\\ =-(b-c)-(c-a)-(a-b)\\ =0$

よって問題の等式は成り立つ。

(3)

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\\ =(a+b+c)^{3}-3(b+c)a^{2}-3(b+c)^{2}a-3b^{2}c-3bc^{2}-3abc$

$=-3a(b+c)(a+b+c)-3bc(b+c+a)\\ =0$

よって問題の等式は成り立つ。

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