数学学習の記録 137.2 数・式の計算・方程式不等式 (数学読本) 第3章問43 | Kamimura's blog

2010年4月4日日曜日

数学学習の記録 137.2 数・式の計算・方程式不等式 (数学読本) 第3章問43

"数・式の計算・方程式不等式 (数学読本)"の第3章問43を解いてみる。

問43

(1)

両辺に、

$3x^{2}-5x-2=(x-2)(3x+1)$

をかけると

x+5=a(3x+1)+b(x-2)

よって、

$3a+b=1\\<br />5=a-2b$

これを解くと、

$b=1-3a\\<br />5=a-2(1-3a)\\<br />a=1,b=-2$

(2)

両辺に

$x(x^{2}+2)$

をかけると、

$3x+2=a(x^{2}+2)+x(bx+c)$

よって、

$a+b=0\\<br />c=3\\<br />2=2a\\<br />a=1,b=-1,c=3$

(3)

両辺に

(x-1)(x-2)(x+3)

をかけると

$x^{3}+6x-15\\<br />=(x-1)(x-2)(x+3)+a(x-2)(x+3)+b(x-1)(x+3)+c(x-1)(x-2)$

x=1,x=2,x=-3をそれぞれ代入すると、

$-8=-4a\\<br />5=5b\\<br />-60=20c$

よって

a=2,b=1,c=-3

(4)

両辺に

$x(x-1)^{2}$

をかけると、

$2x+3=a(x-1)^{2}+bx(x-1)+cx$

両辺の係数を比較すると、

$0=a+b\\<br />2=-2a-b+c\\<br />3=a$

よって

a=3,b=-3,c=5

(5)

両辺に

$x^{4}-1=(x^{2}+1)(x+1)(x-1)$

をかけると、

$1=a(x^{2}+1)(x+1)+b(x^{2}+1)(x-1)+(cx+d)(x+1)(x-1)$

x=1,x=-1を代入すると、

$1=4a\\<br />a=\frac{1}{4}$

$1=-4b\\<br />b=-\frac{1}{4}$

両辺の係数をそれぞれ比較すると、

$1=a-b-d\\<br />d=-\frac{1}{2}$

$0=-cx\\<br />c=0$

よって、

$a=\frac{1}{4},b=-\frac{1}{4},c=0,d=-\frac{1}{2}$

(6)

両辺に

$x(x^{2}+1)^{2}$

をかけると、

$1=a(x^{2}+1)^{2}+(bx+c)x(x^{2}+1)+(dx+e)x$

x=0を代入すると、

1=a

両辺の係数をそれぞれ比較すると、

$0=1+b\\<br />b=-1$

0=c

$0=2+b+d\\<br />d=-1$

$0=c+e\\<br />e=0$

よって、

a=1,b=-1,c=0,d=-1,e=0

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