数学学習の記録 135 数・式の計算・方程式不等式 (数学読本) 第3章問38

"数・式の計算・方程式不等式 (数学読本)"の第3章問38を解いてみる。

問38

複素数zを

(x,yは実数)

とおくと、

$x^{2}-y^{2}+2xyi=a+bi\\<br />x^{2}+(-y^{2})=a\\<br />xy=\frac{b}{2}$

$x^{2}+(-y^{2})=a\\<br />x^{2}(-y^{2})=-\frac{b^{2}}{4}$

この $x^{2},-y^{2}$ は、

$t^{2}-at-\frac{b^{2}}{4}=0$

の解に等しいので

$t=\frac{a\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}$

より

$x^{2}=\frac{a\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2},-y^{2}=\frac{a\mp\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}\\<br />x^{2}=\frac{a\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2},y^{2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}$

(複合同順)

このことと、

$xy=\frac{b}{2}$

ということから、

b>0のとき

$x=\pm\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}},y=\pm\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}$

(複合同順)

となり、求める解zは2つ存在し、

$z=\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}}+\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}}i\right)$

となる。

b<0のとき

$x=\pm\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}},y=\mp\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}}$

(複合同順)

となり、求める解zは2つ存在し、

$z=\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}}-\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}}i\right)$

となる。

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2010年4月2日金曜日