数学学習の記録 134.1 数・式の計算・方程式不等式 (数学読本) 第3章問37

"数・式の計算・方程式不等式 (数学読本)"の第3章問37を解いてみる。

問37

(1)

$15-8i\\ =(x+yi)^{2}\\ =x^{2}-y^{2}+2xyi$

$x^{2}-y^{2}=15\\ xy=-4$

$x^{2}+(-y^{2})=15\\ x^{2}(-y^{2})=-16$

$t^{2}-15t-16=0\\ (t-16)(t+1)=0$

よって

$x^{2}=16,-y^{2}=-1\\ x=\pm4,y=\mp1$

(複合同順)

または

$x^{2}=-1,-y^{2}=16$

となるが、xは実数より前者のほうとなり、求める複素数は

$z=\pm(4-i)$

(2)

$(x+yi)^{2}=4i\\ (x^{2}-y^{2})+2xyi=4i\\ x^{2}-y^{2}=0\\ xy=2$

$x^{2}+(-y^{2})=0\\ x^{2}(-y^{2})=-4$

$t^{2}-4=0\\ (t+2)(t-2)=0\\ t=\pm2$

よって

$x^{2}=\pm2,-y^{2}=\mp2\\ x^{2}=\pm2,y^{2}=\pm2$

(複合同順)

また、

より

$x=y=\pm\sqrt{2}$

よって求める複素数は

$z=\pm\sqrt{2}(1+i)$

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