数学学習の記録 116 ルベーグ(Lebesgue)の収束定理について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

(X,M, $\mu$ )を測度空間とし、Aを可測集合とする。

$A\in M$

また関数列、

$\left(f_{n}\right)_{n\in Z^{+}}$

をすべてのnに対してA上で可測

$\forall n\in Z^{+}\forall a\in R\\<br />\left[\left\{x\in A|a<f_{n}(x)\right\}\in M\right]$

とし、さらにAの各元xに対して

$\lim_{n\rightarrow\infty}{f_{n}(x)}$

が存在するとする。またA上でルベーグ(Lebesgue)積分可能でかつ非負の関数 $\varphi$ が存在し、

$\forall n\in Z^{+}\forall x\in A$

$\left[|f_{n}(x)|\leq\varphi(x)\right]$

が成り立つとする。

このとき関数

$f_{n},\lim_{n\rightarrow\infty}{f_{n}}$

はA上でルベーグ(Lebesgue)積分可能で

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\int_{A}f_{n}\ d\mu=\int_{A}\lim_{n\rightarrow\infty}{f_{n}}\ d\mu$

が成り立つ。

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