数学学習の記録 112 可測関数がルベーグ積分可能であるための必要十分条件について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

(X,M, $\mu$ )を測度空間とし、Aを可測集合とする。

$A\in M$

また、fをA上の可測関数とする。

$\forall a\in R\left[\left\{x\in A|a<f(x)\right\}\in M\right]$

そのとき、

$A_{1}=\left\{x\in A|f(x)<0\right\}$

$A_{2}=\left\{x\in A|0\leq f(x)\right\}$

とおけば、

$A=A_{1}\cup A_{2}\\<br />A_{1}\cap A_{2}=\phi$

となり、

$\int_{A}|f|\ d\mu$

$=\int_{A_{1}}|f|\ d\mu+\int_{A_{2}}|f|\ d\mu$

$=\int_{A_{1}}f^{-}\ d\mu+\int_{A_{2}}f^{+}\ d\mu$

となる。

よって、A上の可測関数fがルベーグ積分可能であるためには|f|がA上でルベーグ積分可能であることが必要十分である。

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