数学学習の記録 111 ルベーグ積分と可測集合の直和分割。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

(X,M, $\mu$ )を測度空間とする。また、可測集合族を

$\left(A_{n}\right)_{n\in Z^{+}}\left(A_{n}\in M\right)$

とし、さらに

$\forall i,j\in Z^{+}(i\ne j)[A_{i}\cap A_{j}=\phi]$

を満たすとする。

このとき、fを集合

$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}$

上の可測関数、さらに非負と仮定する。

$\forall a\in R$

$\left[\left\{x\in\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}| a<f(x) \right\}\right]$

$\forall x\in \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\left[0\leq f(x)\right]$

このとき、

$\int_{\bigcup_{n=1}^{\infty}}f\ d\mu=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{A_{n}}f\ d\mu}$

が成り立つ。

また、関数fが

$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}$

上でルベーグ積分可能ならば、上記の等式、

$\int_{\bigcup_{n=1}^{\infty}}f\ d\mu=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{A_{n}}f\ d\mu}$

が成り立つ。

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