数学学習の記録 108.1 可測関数とルベーグ積分の大小について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

(X,M, $\mu$ )を測度空間とし、Aを可測集合、f,gをA上の可測関数とする。

$A\in M$

$\forall a\in R\left[\left\{x\in A|a<f(x)\right\}\in M\right]$

$\forall a\in R\left[\left\{x\in A|a<g(x)\right\}\right]$

このとき、f,gがともにA上でルベーグ積分可能で、

$\forall x\in A[0\leq f(x)\leq g(x)]$

と仮定する。そのとき、f,gを非負とすると、

$0\leq s\leq f$

を満たす任意の可測単関数に対し、

$\int_{A}s\ d\mu\leq\int_{A} g\ d\mu$

となるので、

$\int_{A} f\ d\mu=\sup_{0\leq s\leq f}\int_{A}s\ d\mu\leq\int_{A}g\ d\mu$

f,gが非負とは限らない場合も同様に、

$\int_{A} f\ d\mu\leq\int_{A}g\ d\mu$

以上をまとめると、

(X,M, $\mu$ )を測度空間とし、Aを可測集合、f,gをA上の可測関数とし、

$A\in M$

$\forall a\in R\left[\left\{x\in A|a<f(x)\right\}\in M\right]$

$\forall a\in R\left[\left\{x\in A|a<g(x)\right\}\right]$

f,gがともにA上でルベーグ積分可能ならば、

$f\leq g\Rightarrow\int_{A} f\ d\mu\leq \int_{A} g\ d\mu$

が成り立つ。

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