数学学習の記録 108 可測単関数の積分をより一般化してみる。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

(X,M, $\mu$ )を測度空間とし、Aを可測集合とする。

$A\in M$

また、fをA上の可測関数とし、さらに非負とする。

$\forall a\in R\left[\left\{x\in A|a<f(x)\right\}\in M\right]$

$\forall x\in [0\leq f(x)]$

このとき、

$0\leq s\leq f$

を満たす可測単関数sすべてを考え、

$\int_{A}f d\mu=\sup_{0\leq s\leq f}\int_{A}s d\mu$

とfのA上の積分を定める。

次に可測fが非負とは限らない場合を考える。

そのとき、

$f^{+}=\max\left\{f,0\right\},f^{-}=-\min\left\{f,0\right\}$

とおき、

$\int_{A}f^{+} d\mu\ \ \ ,\ \ \ \int_{A}f^{-} d\mu$

のいずれか一方、あるいはともに有限の場合、

$\int_{A} f\ d\mu=\int_{A}f^{+} d\mu-\int_{A}f^{-}\ d\mu$

と定義する。

可測関数fがA上で $\mu$ についてルベーグ積分可能。

$\int_{A}f^{+} d\mu\ \ \ ,\ \ \ \int_{A}f^{-} d\mu$

がともに有限である。

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