数学学習の記録 107.1 可測単関数のスカラー倍(実数倍)の積分について。

GoogleドキュメントのTeXによるi数式入力の練習。

(X,M, $\mu$ )を測度空間とし、Aを可測集合とする。

$A\in M$

また、sをA上の可測単関数とし、

$\forall x\in A[0\leq s(x)]$

とする。

このとき、

$s(A)=\left\{c_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,c_{n}\right\}\ \ \ (n\in N)$

とおき、

$E_{i}=\left\{x\in A|s(x)=c_{i}\right\}$

$K_{E_{i}}(x)=\left{1\ \ \ (x\in E_{i})\\ 0\ \ \ (x\in A-E_{i})$

とおけば、

$s=\sum_{i=1}^{n}{c_{i}K_{E_{i}}}$

となる。

cを非負の実数とする。

$c\in R,0\leq c$

このとき、

$\int_{A}cs\ d\mu$

$=\sum_{i=1}^{n}cc_{i}\mu(E_{i})\\ =c\sum_{i=1}^{n}{\c_{i}\mu(E_{i})}\\ =c\int_{A}s\ d\mu$

以上をまとめると、

(X,M, $\mu$ )を測度空間とし、Aを可測集合とし、

$A\in M$

また、sをA上の可測単関数

$\forall x\in A[0\leq s(x)]$

とするとき、非負の実数をc

$c\in R,0\leq c$

に対して

$\int_{A}cs\ d\mu=c\int_{A}s\ d\mu$

が成り立つ。

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