数学学習の記録 99.1 σ加法的な集合関数について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Xを集合、Xの部分集合族 $\Re$ をX上のσ集合環とする。

$\phi\ne\Re\subset P(X)$

$\forall A,B\in\Re\\<br />[A\cup B\in\Re\wedge A-B\in\Re]$

$\forall A_{1},A_{2},\ \ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \in\Re\left((A_{n})_{n\in Z^{+}}(A_{n}\in\Re)\right)$

$\left[\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\in\Re\right]$

また、 $\varphi$ を $\Re$ 上の集合関数とする。

$\varphi:\Re\right \bar{R}\\<br />\forall A\in\Re\left[\varphi(A)\in\bar{R}\right]$

このとき、 $\varphi$ がσ加法的であるとは、

$\varphi(\phi)=0$

$\forall A_{1},A_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \in\Re\left((A_{n})_{n\in Z^{+}}(A_{n}\in\Re)\right)$

$[\left(\forall i,j\in Z^{+}(i\ne j)[A_{i}\cap A_{j}=\phi]\right)$

$\Rightarrow\varphi\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\varphi(A_{i})}]$

が成り立つことをいう。

Kamimura's blog