数学学習の記録 99 集合環上の非負な加法的な集合関数の性質について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Xを集合、その集合環をとし、この集合環上の非負な加法的集合関数をとする。

ただし、

とする。

そのとき、の元A,Bが

と仮定すると、

となり、加法的集合関数が非負という仮定から、

より、

が成り立つ。

また、の任意の元A,Bに対して数学学習の記録 98.2 加法的集合関数の性質について。の(3)より、

となり、また、加法的集合関数が非負という仮定から、

となるので、

が成り立つ。このことから帰納法より、

が成り立つ。

以上をまとめると、

Xを集合、その集合環をとし、この集合環上の非負な加法的集合関数をとし、

ただし、

とするとき、

が成り立つ。