Xを集合、その集合環である部分集合族を
とし、この部分集合族上の加法的集合関数を
とする。だだし、
とする。そのとき、
が成り立ち、加法的な関数なので、
すなわち、
となる。
また、帰納法により、
また、集合環の定義と数学学習の記録 97.3 集合環とその性質について。より、
となる。また、
となる。ここで、
より、
が成り立つ。また、
とするとき、
なので、
以上をまとめると、集合環
上の加法的な集合関数を
ただし、
とするとき、
が成り立つ。
2010年2月20日土曜日
GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。
)
![\forall A,B\in\Re[A\cup B\in\Re\wedge A-B\in\Re]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cforall%20A%2CB%5Cin%5CRe%5BA%5Ccup%20B%5Cin%5CRe%5Cwedge%20A-B%5Cin%5CRe%5D)
![\neg[-\infty\in\varphi(\Re)\wedge+\infty\in\var\Re]\\
\neg[\varphi(\Re)=\left\{-\infty\right\}\vee\varphi(\Re)=\left\{+\infty\right\}]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cneg%5B-%5Cinfty%5Cin%5Cvarphi(%5CRe)%5Cwedge%2B%5Cinfty%5Cin%5Cvar%5CRe%5D%5C%5C%0A%5Cneg%5B%5Cvarphi(%5CRe)%3D%5Cleft%5C%7B-%5Cinfty%5Cright%5C%7D%5Cvee%5Cvarphi(%5CRe)%3D%5Cleft%5C%7B%2B%5Cinfty%5Cright%5C%7D%5D)
![\exists A\in\Re[\varphi(A)\in R]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cexists%20A%5Cin%5CRe%5B%5Cvarphi(A)%5Cin%20R%5D)
%5C%5C%0A%3D%5Cvarphi(A%2B%5Cphi)%5C%5C%0A%3D%5Cvarphi(A)%2B%5Cvarphi(%5Cphi))
%3D0)
また、帰納法により、
![[(\forall i,j\in\left\{1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,n\right\}(i\ne j)[A_{i}\cap A_{j}=\phi])\\](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5B(%5Cforall%20i%2Cj%5Cin%5Cleft%5C%7B1%2C%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%2Cn%5Cright%5C%7D(i%5Cne%20j)%5BA_%7Bi%7D%5Ccap%20A_%7Bj%7D%3D%5Cphi%5D)%5C%5C%0A)
![\Rightarrow\varphi(A_{1}\cup\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cup A_{n})=\varphi(A_{1})+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\varphi(A_{n})]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5CRightarrow%5Cvarphi(A_%7B1%7D%5Ccup%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccup%20A_%7Bn%7D)%3D%5Cvarphi(A_%7B1%7D)%2B%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%2B%5Cvarphi(A_%7Bn%7D)%5D)
また、集合環の定義と数学学習の記録 97.3 集合環とその性質について。より、
![\left[A\cup B\in\Re\\
\wedge(A-B)\in\Re\\
\wedge(B-A)\in\Re\\
\wedge A\cap B\in\Re\right]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cleft%5BA%5Ccup%20B%5Cin%5CRe%5C%5C%0A%5Cwedge(A-B)%5Cin%5CRe%5C%5C%0A%5Cwedge(B-A)%5Cin%5CRe%5C%5C%0A%5Cwedge%20A%5Ccap%20B%5Cin%5CRe%5Cright%5D)
となる。また、
%2B%5Cvarphi(A%5Ccap%20B)%5C%5C%0A%3D%5Cvarphi((A%5Ccap%20B)%5Ccup(A-B)%5Ccup(B-A))%2B%5Cvarphi(A%5Ccap%20B))
となる。ここで、
%5Ccap(A-B)%3D%5Cphi%5C%5C%0A(A%5Ccap%20B)%5Ccap(B-A)%3D%5Cphi%5C%5C%0A(A-B)%5Ccap(B-A)%3D%5Cphi)
%2B%5Cvarphi(A-B)%2B%5Cvarphi(B-A)%2B%5Cvarphi(A%5Ccap%20B)%5C%5C%0A%3D%5Cvarphi((A%5Ccap%20B)%5Ccup(A-B))%2B%5Cvarphi((A%5Ccap%20B)%5Ccup(B-A)))
%2B%5Cvarphi(B))
![\forall A,B\in\Re[A\subset B\wedge \varphi(A)\in R]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cforall%20A%2CB%5Cin%5CRe%5BA%5Csubset%20B%5Cwedge%20%5Cvarphi(A)%5Cin%20R%5D)
%5C%5C%0AA%5Ccap%20(B-A)%3D%5Cphi%5C%5C%0AB-A%5Cin%5CRe)
%3D%5Cvarphi(A)%2B%5Cvarphi(B-A)%5C%5C%0A%5Cvarphi(B-A)%3D%5Cvarphi(B)-%5Cvarphi(A))
%5Cvarphi(%5Cphi)%3D0)
%5Cforall%20A_%7B1%7D%2C%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%5Ccdot%5C%20%2CA_%7Bn%7D%5Cin%5CRe%0A)
%5Cforall%20A%2CB%5Cin%5CRe%5C%5C%0A%5B%5Cvarphi(A%5Ccup%20B)%2B%5Cvarphi(A%5Ccap%20B)%3D%5Cvarphi(A)%2B%5Cvarphi(B))
![(4)\forall A,B\in\Re\\
\left[A\subset B\wedge \varphi(A)\in R\\
\Rightarrow\varphi(B-A)=\varphi(B)-\varphi(A)\right]](https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=(4)%5Cforall%20A%2CB%5Cin%5CRe%5C%5C%0A%5Cleft%5BA%5Csubset%20B%5Cwedge%20%5Cvarphi(A)%5Cin%20R%5C%5C%0A%5CRightarrow%5Cvarphi(B-A)%3D%5Cvarphi(B)-%5Cvarphi(A)%5Cright%5D)
また、帰納法により、
また、集合環の定義と数学学習の記録 97.3 集合環とその性質について。より、
となる。また、
となる。ここで、
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