数学学習の記録 97.2 連続的微分可能なベクトル値関数(曲線)の測長可能性と積分について。 | Kamimura's blog

2010年2月19日金曜日

数学学習の記録 97.2 連続的微分可能なベクトル値関数(曲線)の測長可能性と積分について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Γを閉区間[a,b]で定義された連続的微分可能(Γ'が存在して連続)なベクトル値関数(曲線)とする。

$\gamma:[a,b]\rightarrow R^{n}$

そのとき、区間[a,b]の分割をPとする。

$P=(t_{0},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,t_{m})\\ a=t_{0}<t_{1}<\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ <t_{m-1}<t_{m}=b$

そのとき、

$L(P,\gamma)\\ =\sum_{i=1}^{m}\left|\gamma(t_{i})-\gamma(t_{i-1})\right|$

となり、ここで数学学習の記録 96.5 ベクトル値関数(曲線)の積分その求めかたについて。と数学学習の記録 97 ベクトル値関数(曲線)の連続性とそのノルムの連続性、積分のノルムの大小について。より、

$\left|\gamma(t_{i})-\gamma(t_{i-1})\right|\\ =\left|\int_{t_{i}-1}^{t_{i}}\gamma'(t)dt\right|\\ \leq\int_{t_{i}-1}^{t_{i}}\left|\gamma'(t)\right|dt$

から、

$L(P,\gamma)\\ =\sum_{i=1}^{m}\left|\gamma(t_{i})-\gamma(t_{i-1})\right|$

$\leq\sum_{i=1}^{m}\int_{t_{i}-1}^{t_{i}}|\gamma'(t)|dt$

$=\int_{a}^{b}|\gamma'(t)|dt$

となり、

$L(\gamma)\leq\int_{a}^{b}|\gamma'(t)|dt\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast$

が成り立つ。

また、Γ'は閉区間[a,b]で連続なので、一様連続であることから、

$\forall \varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists\delta\in R(\delta>0)\forall s,t\in [a,b]\\ [|s-t|<\delta\Rightarrow|\gamma'(s)-\gamma'(t)|<\varepsilon]$

が成り立つ。ここで分割を

$P=(t_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,t_{m})$

$\forall i\in \left\{1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,m\right\}[t_{i}-t_{i-1}<\delta]$

とする。このとき、

$\forall t\in [t_{i-1},t_{i}]\\ \left[|\gamma'(t)|\ -\ |\gamma'(t_{i})|\leq|\gamma'(t)-\gamma'(t_{i})|<\varepsilon\\\right]$

より、

$\forall t\in [t_{i-1},t_{i}]\\ [|\gamma'(t)|<|\gamma'(t_{i})|+\varepsilon]$

となるので、

$\int_{t_{i-1}}^{t_{i}}|\gamma'(t)|dt$

$<\int_{t_{i-1}}^{t_{i}}|\gamma'(t_{i})|dt+\varepsilon(t_{i}-t_{i-1})$

$=\int_{t_{i-1}}^{t_{i}}|\gamma'(t_{i})+\gamma'(t)-\gamma'(t)|dt+\varepsilon(t_{i}-t_{i-1})$

$\leq\int_{t_{i-1}}^{t_{i}}|\gamma'(t)|dt+\int_{t_{i-1}}^{t_{i}}|\gamma'(t_{i})-\gamma'(t)|dt+\varepsilon(t_{i}-t_{i-1})$

$\leq|\gamma(t_{i})-\gamma(t_{i-1})|+\varepsilon(t_{i}-t_{i-1})+\varepsilon(t_{i}-t_{i-1})$

$=|\gamma(t_{i})-\gamma(t_{i-1})|+2\varepsilon(t_{i}-t_{i-1})$

となることから、

$\int_{a}^{b}|\gamma'(t)|dt$

$=\int_{t_{0}}^{t_{1}}|\gamma'(t)|dt+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\int_{t_{m-1}}^{t_{m}}|\gamma'(t)|dt$

$<\sum_{i=0}^{m}\left(|\gamma(t_{i}-\gamma(t_{i-1})|\ +2\varepsilon(t_{i}-t_{i-1})\right)$

$=L(P,\gamma)+2\varepsilon(b-a)\\ \leq L(\gamma)+2\varepsilon(b-a)$

となるので、

$\int_{a}^{b}|\gamma'(t)|dt\leq L(\gamma)$

このことと*から、

$\int_{a}^{b}|\gamma'(t)|dt\leq L(\gamma)\leq\int_{a}^{b}|\gamma'(t)|dt$

すなわち、

$L(\gamma)=\int_{a}^{b}|\gamma'(t)|dt$

以上をまとめると、

Γを閉区間[a,b]で定義された連続的微分可能(Γ'が存在して連続)なベクトル値関数(曲線)とすると、

$\gamma:[a,b]\rightarrow R^{n}$

この曲線は測長可能でその曲線の長さは、

$L(\gamma)=\int_{a}^{b}|\gamma'(t)|dt$

となる。

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