2010年2月19日金曜日

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

fを閉区間[a,b]で連続なベクトル値関数(曲線)とする。

f:[a,b]\rightarrow R^{n}

そのとき、この(Euclid)ノルムは

|f|=|(f_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,f_{n})|=(f_{1}^{2}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +f_{n}^{2})^{\frac{1}{2}}

となるので|f|も連続である。

また、

\left|\int_{a}^{b}f(t)dt\right|^{2}
=\left|\left(\int_{a}^{b}f_{1}(t)dt,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,\int_{a}^{b}f_{n}(t)dt\right)\right|^{2}
=\left(\left(\int_{a}^{b}f_{1}(t)dt,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,\int_{a}^{b}f_{n}(t)dt\right)\cdot\left(\int_{a}^{b}f_{1}(t)dt,\ \cdot\ \cdot\ ,\int_{a}^{b}f_{n}(t)dt\right)\right)
=\left(\int_{a}^{b}f_{1}(t)dt\right)^{2}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\left(\int_{a}^{b}f_{n}(t)dt\right)^{2}
=\left(\int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{b}f_{1}(t)dt\right)f_{1}(t)dt\right)+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\left(\int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{b}f_{n}(t)dt\right)f_{n}(t)dt\right)
=\int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{b}f_{1}(t)dt\right)f_{1}(t)+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\left(\int_{a}^{b}f_{n}(t)dt\right)f_{n}(t)dt
=\int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{b}f_{1}(t)dt,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,\int_{a}^{b}f_{n}(t)dt\right)\cdot f(t)dt
\leq\int_{a}^{b}\left|\left(\int_{a}^{b}f_{1}(t)dt,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,\int_{a}^{b}f_{n}(t)dt\right)\cdot f(t)\right|dt
\leq\int_{a}^{b}\left|\left(\int_{a}^{b}f_{1}(t)dt,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,\int_{a}^{b}f_{n}(t)dt\right)\right|\ \left|f(t)\right|dt
=\left|\left(\int_{a}^{b}f_{1}(t)dt,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,\int_{a}^{b}f_{n}(t)dt\right)\right|\int_{a}^{b}|f(t)|dt
=\left|\int_{a}^{b}f(t)dt\right|\int_{a}^{b}|f(t)|dt

よって、

\left|\int_{a}^{b}f(t)dt\right|\leq\int_{a}^{b}|f(t)|dt


以上をまとめると、

fを閉区間[a,b]で連続なベクトル値関数(曲線)とすると、

f:[a,b]\rightarrow R^{n}

その(Euclid)ノルム|f|も連続で、

\left|\int_{a}^{b}f(t)dt\right|\leq\int_{a}^{b}|f(t)|dt

が成り立つ。
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