数学学習の記録 96.5 ベクトル値関数(曲線)の積分その求めかたについて。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

fを閉区間[a,b]で定義されたベクトル値関数(曲線)とする。

$f:[a,b]\rightarrow R^{n}$

すべての座標関数

$f_{i}:[a,b]\rightarrow R^{n}$

が有界かつ積分可能なとき、fの積分を

$\int_{a}^{b} f(t)dt=\left(\int_{a}^{b}f_{1}(t)dt,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,\int_{a}^{b}f_{n}(t)dt\right)$

と定義する。

fを閉区間[a,b]で定義された連続なベクトル値関数(曲線)とし、Fを閉区間[a,b]で定義された微分可能なベクトル値関数(曲線)とする。

$f:[a,b]\rightarrow R^{n}\\ F:[a,b]\rightarrow R^{n}$

さらに、

$\forall t\in I[F'(t)=f(t)]$

が成り立つとすると、

$\int_{a}^{b}f(t)dt\\ =\left(\int_{a}^{b}f_{1}(t)dt,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,\int_{a}^{b}f_{n}(t)dt\right)$

$=\left(F_{1}(b)-F_{1}(a),\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,F_{n}(b)-F_{n}(a)\right)\\ =\left(F_{1}(b),\ \cdot\ \cdot\ ,F_{n}(b)\right)-\left(F_{1}(a),\ \cdot\ \ \cdot\ \cdot\ ,F_{n}(a)\right)\\ =F(b)-F(a)$

以上をまとめると、

fを閉区間[a,b]で定義された連続なベクトル値関数(曲線)とし、Fを閉区間[a,b]で定義された微分可能なベクトル値関数(曲線)とし、

$f:[a,b]\rightarrow R^{n}\\ F:[a,b]\rightarrow R^{n}$

さらに、

$\forall t\in I[F'(t)=f(t)]$

が成り立つならば、

$\int_{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$

Kamimura's blog

2010年2月18日木曜日

数学学習の記録 96.5 ベクトル値関数(曲線)の積分その求めかたについて。

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