数学学習の記録 96.4 ベクトル値関数(曲線)における平均値の定理に類似した性質について。

GoogleドキュメントのTeXよる数式入力の練習。

fを定義域が閉区間[a,b]のベクトル値関数とする。

$f:[a,b]\rightarrow R^{n}$

このとき、fは閉区間[a,b]で連続でこの閉区間から端点を除いた開区間(a,b)で微分可能と仮定する。

そのとき、

$\forall t\in [a,b]\left[(f(b)-f(a))\cdot f(t)\right]$

という閉区間[a,b]を定義域とする実数値関数を定義する。fは閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能なので、この実数値関数も[a,b]で連続、(a,b)で微分可能となる。よって実数値関数に関する平均値の定理より、

$\exists c\in (a,b)\\ \left[(f(b)-f(a))\cdot f(b)-(f(b)-f(a))\cdot f(a)\\ =(b-a)((f(a)-f(b))\cdot f(c))'\right]$

が成り立つ。左辺について、

$(f(b)-f(a))\cdot f(b)-(f(b)-f(a))\cdot f(a)\\ =(f(b)-f(a))\cdot (f(b)-f(a))\\ =|f(b)-f(a)|^{2}$

右辺について、

$(b-a)((f(b)-f(a))\cdot f(c))'\\ =(b-a)((f(a)-f(b))'\cdot f(c)+(f(b)-f(a))\cdot f'(c))\\ =(b-a)(f(b)-f(a))\cdot f'(c)$

よって、

$|f(b)-f(a)|^{2}=(b-a)(f(b)-f(a))\cdot f'(c)\\ |f(b)-f(a)|^{2}=(b-a)|f(b)-f(a)\cdot f'(c)|$

$|(f(b)-f(a))\cdot f'(c)|\leq|f(b)-f(a)|\ |f'(c)|$

より、

$|f(b)-f(a)|^{2}\\ =(b-a)|(f(b)-f(a))\cdot f'(c)|\\ \leq(b-a)|f(b)-f(a)|\ |f'(c)|$

すなわち

$|f(b)-f(a)|\leq(b-a)|f'(c)|$

以上をまとめると、

fを定義域が閉区間[a,b]のベクトル値関数とし、

$f:[a,b]\rightarrow R^{n}$

閉区間[a,b]で連続でこの閉区間から端点を除いた開区間(a,b)で微分可能ならば、開区間(a,b)の適当な点cが存在して

$|f(b)-f(a)|\leq (b-a)|f'(c)|$

が成り立つ。論理式で記述すると、

$\exists c\in (a,b)\left[|f(b)-f(a)|\leq(b-a)|f'(c)|\right]$

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