数学学習の記録 95.1 n次元Euclid空間の内積とベクトルのなす角について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

集合、

$R^{n}$

に加法(和)、実数倍(スカラー倍)を導入し(ベクトル空間とし)、さらに内積、ノルムを導入してn次元Euclid空間とする。

$|a\cdot b|\leq |a|\ |b|\\ \frac{|a\cdot b|}{|a|\ |b|}\leq 1\\ -1\leq\frac{a\cdot b}{|a|\ |b|}\leq 1$

となるので、

$\exists1\theta\in[0,\pi ]\left[\frac{a\cdot b}{|a|\ |b|}=\cos\theta\right]$

すなわち、

$\exists1\theta\in [0,\pi]\left[a\cdot b=|a|\ |b|\ \cos\theta]$

が成り立つ。この $\theta$ をa,bのなす角という。

また、

$\forall a,b\in R^{n}[a\cdot b=0]$

のとき、a,bは直交するといい、

$a\bot b$

と記述する。また、任意のベクトルaに対して

$a\cdot 0=0$

となるので、零ベクトルは任意のベクトルと直交する。また、ベクトルa,bが直交するとし、どちらも零ベクトルではないとすると、

$\exists1\theta\in [0,\pi][0=a\cdot b=|a|\ |b|\ \cos\theta]$

が成り立つので、

$\cos\theta=0$

すなわち、ベクトルa,bがなす角は

$\theta=\frac{\pi}{2}$

となる。

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