数学学習の記録 94.2 n次元Euclid空間の和、実数倍について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

nを自然数とし、n個の順序づけられた実数の組

$(a_{1},a_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,a_{n})(a_{n}\in R)$

の全体の集合をR^{n}とする。この集合の加法、実数倍をそれぞれ、

$\forall a,b\in R^{n}\\ \left[a+b\\ =(a_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,a_{n})+(b_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,b_{n})\\ (a_{1}+b_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,a_{n}+b_{n}\right]$

$\forall r\in R\forall a\in R^{n}\\ \left[ra=r(a_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,a_{n})=(ra_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,ra_{n})\right]$

と定義する。このとき、

$(1)\forall a,b,c\in R^{n}[(a+b)+c=a+(b+c)]\\ (2)\exists 0(=(0,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,0))\in R^{n}\forall a\in R^{n}[a+0=0+a=a]\\ (3)\forall a\in R^{n}\exists -a\in R^{n}[a+(-a)=(-a)+a=0]\\$

$(4)\forall a,b\in R^{n}[a+b=b+a]\\ (5)\forall r\in R\forall a,b\in R^{n}=r(a+b)=ra+rb]\\ (6)\forall r_{1},r_{2}\in R\forall a\in R^{n}[(r_{1}+r_{2})a=r_{1}a+r_{2}a]\\$

$(7)\forall r_{1},r_{2}\in R\forall a\in R^{n}[(r_{1}r_{2})a=r_{1}(r_{2}a)]\\ (8)\forall a\in R^{n}[1a=a]$

が成り立つ。すなわち、上記で定義した加法、実数倍について集合R^{n}はR上のベクトル空間をなす。

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2010年2月16日火曜日

数学学習の記録 94.2 n次元Euclid空間の和、実数倍について。

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