数学学習の記録 92.2 関数級数が一様収束するための必要十分条件について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

実数全部の集合Rの部分集合Eにおける関数列を

$(f_{n})_{n\in N}$

とし、Eにおける関数級数を

$\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x)}$

とする。そのとき、この関数級数が一様収束することは、部分和(関数)

$\sum_{i=0}^{n}{f_{i}(x)}$

が一様収束することと同等であるから、数学学習の記録 92 関数列が一様収束するための必要十分条件について(一様収束に関するコーシーの条件)。より、Eにおける関数級数

$\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x)}$

が一様収束するためには、

$\forall \varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall m,n\in N\\ \left[n_{0}\leq m\leq n\Rightarrow \left|\sum_{i=0}^{n}{f_{i}(x)}-\sum_{i=0}^{m}{f_{i}(x)}\right|<\varepsilon\right]$

すなわち、

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon)\exists n_{0}\forall m,n\in N\\ \left[n_{0}\leq m\leq n\Rightarrow\left|\sum_{i=m}^{n}{f_{i}(x)}\right|<\varepsilon\right]$

が成り立つことが必要十分である。

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2010年2月14日日曜日

数学学習の記録 92.2 関数級数が一様収束するための必要十分条件について。

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