数学学習の記録 91.1 関数列と関数級数について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

定義域が実数Rの部分集合Eの関数の関数列を

$(f_{n})_{n\in N}$

とする。そのとき、関数級数を

$\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x)}$

とする。すべての集合Eの点xに対して、上記の関数級数が収束するとする(各点xに対して数列の無限級数と考える)、つまり

$\forall x\in E\exists1 a\in R\left[\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x)}=a\right]$

ならば、関数sを

$s(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x)}$

と定めることができる。このとき、関数級数

$\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}}$

は関数、sに収束するという。

これは、関数列

$\left(\sum_{k=0}^{n}{f_{n}(x)}\right)_{n\in N}$

が関数sに収束することと同様なので、関数級数の収束問題は、関数列の収束問題に還元することができる。

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