数学学習の記録 90.2 無限級数の収束と広義積分の収束について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

fを値が正の単調減少な連続関数とし、その定義域を

$[1,+\infty)$

とする。そのとき、無限級数、

$\sum_{n=1}^{\infty}{f(n)}$

が収束すると仮定する。

関数fは単調減少で正の値をとるので、

$\forall x\in [k-1,k](2\leq k)[f(k)\leq f(x)\leq f(k-1)]$

となり、

$f(k)\leq\int_{k-1}^{k}f(x)dx\leq f(k-1)$

となる。よって、

$\sum_{k=2}^{n}{f(k)}\leq\int_{1}^{n}f(x)dx\leq\sum_{k=1}^{n-1}{f(k)}\\<br />(2\leq n)$

となる。よって、

$\forall b\in (1,+\infty)\exists n\in N-\left\{1\right\}\\<br />\left[\int_{1}^{b}f(x)dx\leq\int_{1}^{n}f(x)dx\leq\sum_{n=1}^{\infty}{f(n)}\right]$

となるので、積分

$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$

は収束する。

逆に、積分

$\int_{1}^{\infty}f$

が収束すると仮定する。

そのとき、上記の無限級数と積分の不等式より、

$\sum_{k=2}^{n}{f(k)}\leq\int_{1}^{\infty}f$

となる。この左辺は単調増加で上に有界なので、無限級数、

$\sum_{n=1}^{\infty}{f(n)}$

は収束する。

以上をまとめると、fを値が正の単調減少な連続関数とし、その定義域を

$[1,+\infty)$

とするとき、無限級数、

$\sum_{n=1}^{\infty}{f(n)}$

が収束するためには広義積分

$\int_{1}^{+\infty}f(x)dx$

が収束することが必要十分である。

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