数学学習の記録 90 積分関数、原始関数、連続性について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

fを区間Iで積分可能な関数とする。

fの積分関数。

$\int_{a}^{x}f\ \ \ \ \ \ (a\in I)$

fの原始関数。

ちなみに、もし関数fの原始関数Fが存在するならば、

$(F+C)'=F'\ \ \(C\in R)$

(Cは定数)

となるので、fの原始関数は無限に存在する。また、F、Gともに関数fの原始関数とすると、

$F'=f\wedge G'=f$

より

$F'-G'=0\\<br />(F-G)'=0$

となるので、F-Gは定数となる。このことから、

$G=F+C(C\in R)$

(Cは定数)

よって、関数fの原始関数は、

$F+C(C\in R)$

(Cは定数)

の形になる。

また、gを区間Iで連続な関数とすると、gの積分関数はgの原始関数となる。

$\left(\int_{a}^{x}g\right)'=g\ \ \ (a\in I)$

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