数学学習の記録 88.2 関数と整級数について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

fを関数とし、fは区間Iで無限回微分可能とする。また、点aを区間Iの点とする。すると関数fを

$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\\ \ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+R_{n}\\ =\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}}+R_{n}$

(R_{n}はxの関数)

とおくことができる。このとき、

$\forall x\in I[\lim_{n\rightarrow\infty}{R_{n}}=0]$

が成り立つならば、

$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\\ \ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\\\ =\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}}$

と記述することができる。これを関数fの点aにおける整級数展開という。また、一般に

$\sum_{n=0}^{\infty}{c_{n}(x-a)^{n}}\\ (a,c_{n}\in R)$

の形の関数(級数)をaを中心とする整級数という。

Kamimura's blog

2010年2月10日水曜日

数学学習の記録 88.2 関数と整級数について。

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