数学学習の記録 88.1 凸関数、凹関数と連続性について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

関数fが区間Iにおいて凸関数とする。

そのとき、点cを区間Iの内点、点a,bを区間Iの点でa<c<bとする。凸関数の定義により、

$\frac{f(c)-f(a)}{c-a}\leq\frac{f(b)-f(c)}{b-c}$

が成り立つ。また、

$\forall x\in (a,c)\cup(c,b)\left[\frac{f(c)-f(a)}{c-a}\leq\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq\frac{f(b)-f(c)}{b-c}\right]$

が成り立つ。x<c,c<xの場合をそれぞれ考えると

$x<c\Rightarrow \frac{f(b)-f(c)}{b-c}\cdot(x-c)\leq f(x)-f(c)\leq\frac{f(c)-f(a)}{c-a}\cdot(x-c)\\ c<x\Rightarrow\frac{f(c)-f(a)}{c-a}\cdot(x-c)\leq f(x)-f(c)\leq\frac{f(b)-f(c)}{b-c}\cdot(x-c)$

となる。また

$\lim_{x\rightarrow c}{\frac{f(b)-f(c)}{b-c}\cdot(x-c)}=0\wedge\lim_{x\rightarrow c}{\frac{f(c)-f(a)}{c-a}\cdot(x-c)=0$

なので、はさみうちの定理により、

$\lim_{x\rightarrow c}{f(x)}=f(c)$

となる。

関数fが凹関数のときも同様。

まとめると、

関数fが区間Iにおいて凸関数、あるいは凹関数とすると、関数fはIの内部では連続である。

Kamimura's blog

2010年2月10日水曜日

数学学習の記録 88.1 凸関数、凹関数と連続性について。

0 コメント:

コメントを投稿