数学学習の記録 88 凸関数、凹関数について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

fを関数、その定義域を区間Iとする。

そのとき、関数fが下に凸。

$\forall a,b,c\in I\left[a<c<b\Rightarrow \frac{f(c)-f(a)}{c-a}\leq\frac{f(c)-f(b)}{c-b}\right]$

さらに、

$\forall a,b,c\in I\left[a<c<b\Rightarrow\frac{f(c)-f(a)}{c-a}<\frac{f(b)-f(c)}{b-c}\right]$

のとき、関数fは狭義に下に凸。

関数fが下に(狭義に)凸のとき、fを凸関数とよぶ。

同様に、関数fが上に凸。

$\forall a,b,c\in I\left[a<c<b\Rightarrow \frac{f(c)-f(a)}{c-a}\geq\frac{f(b)-f(c)}{b-c}\right]$

さらに、

$\forall a,b,c\in I\left[\frac{f(c)-f(a)}{c-a}>\frac{f(b)-f(c)}{b-c}\right]$

のとき、関数fは狭義に上に凸。

関数fが上に(狭義に)凸のとき関数fを凹関数とよぶ。

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