数学学習の記録 87.2 ロルの定理から平均値の定理へ。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

fを関数、閉区間[a,b]で連続、さらに開区間(a,b)で微分可能とする。

そのとき、関数gを

$g(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot(x-a)-f(x)+f(a)$

とおくと、g(x)も閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能となる。さらに、

が成り立つので、ロルの定理より、

$\exists c\in(a,b)[g'(c)=0]$

が成り立つ。このことと、

$g'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}-f'(x)$

から、

$g'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}-f'(c)\\ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

が成り立つ。

以上をまとめると、関数fが閉区間[a,b]で連続、さらに開区間(a,b)で微分可能ならば、開区間(a,b)のある点cが存在してf'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)が成り立つ。

$\exists c\in (a,b)\left[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right]$

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